Les nombres complexes sont un type de nombre qui peut être écrit sous la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels et i est l’unité imaginaire, définie comme la racine carrée de -1. Les nombres complexes peuvent être représentés graphiquement dans un plan appelé plan complexe, où l’axe horizontal représente la partie réelle et l’axe vertical représente la partie imaginaire.
Les nombres complexes peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et divisés comme les nombres réels. Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, on ajoute ou soustrait leurs parties réelles et imaginaires séparément. Par exemple, (2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i.
Pour multiplier deux nombres complexes, on utilise la formule (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. Par exemple, (2 + 3i)(4 + 5i) = (8 - 15) + (10 + 12)i = -7 + 22i.
Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le conjugué d’un nombre complexe a + bi est a - bi. Par exemple, pour diviser (2 + 3i) par (4 + 5i), on calcule (2 + 3i)/(4 + 5i) = ((2 + 3i)(4 - 5i))/((4 + 5i)(4 - 5i)) = (-7 + 22i)/(16 + 25) = (-7/41) + (22/41)i.
Les nombres complexes ont de nombreuses applications dans les domaines de la physique, de l’ingénierie et des mathématiques. Ils sont utilisés pour résoudre des équations polynomiales de degré supérieur à deux et pour représenter des quantités telles que les ondes électromagnétiques et les signaux audio.
En résumé, les nombres complexes sont un outil puissant pour résoudre des problèmes dans de nombreux domaines. Ils peuvent être manipulés en utilisant des règles similaires à celles des nombres réels et ont de nombreuses applications intéressantes.
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